प्रायिकता

संभावना:

संभाव्यता गणित की एक शाखा है जो घटनाओं के घटित होने की संभावना या संभावना से संबंधित है। यह अनिश्चितता का एक मात्रात्मक माप प्रदान करता है और सांख्यिकी, वित्त, विज्ञान और रोजमर्रा के निर्णय लेने सहित विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

संभाव्यता में प्रमुख अवधारणाएँ:

1. Probability of an Event:

   • The probability of an event, denoted by $�(�)$, is a number between 0 and 1 that represents the likelihood of the event occurring.
   • $0\le �(�)\le 1$, where 0 indicates impossibility, 1 indicates certainty, and values in between represent varying degrees of likelihood.

2. Sample Space:

   • The sample space ($�$) is the set of all possible outcomes of an experiment.
   • For example, when rolling a six-sided die, the sample space is $\{1,2,3,4,5,6\}$.

3. Event:

   • An event is a subset of the sample space, representing specific outcomes of interest.
   • For example, in rolling a die, the event of getting an even number is $\{2,4,6\}$.

4. Probability of Simple Events:

   • For a simple event (an event consisting of a single outcome), the probability is calculated as: $�(�)=\frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of outcomes}}$

5. Probability of Compound Events:

   • For compound events (events consisting of more than one outcome), probabilities can be calculated using methods like the addition rule and multiplication rule.

6. Complementary Events:

   • The probability of the complementary event ($�(\overline{�})$) is the probability that the event does not occur. $�(\overline{�})=1-�(�)$

7. Conditional Probability:

   • Conditional probability is the probability of an event occurring given that another event has already occurred, denoted as $�(�\mathrm{\mid }�)$ (probability of $�$ given $�$). $�(�\mathrm{\mid }�)=\frac{�(�\cap �)}{�(�)}$

8. स्वतंत्र और आश्रित घटनाएँ: घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं यदि एक की घटना दूसरे की घटना को प्रभावित नहीं करती है। घटनाएँ निर्भर होती हैं यदि एक की घटना दूसरे की घटना को प्रभावित करती है।

9. अनिश्चित परिणामों के आधार पर सूचित निर्णय लेने में संभाव्यता सिद्धांत आवश्यक है। यह सांख्यिकी में एक मूलभूत अवधारणा है और वित्त, विज्ञान और मशीन लर्निंग जैसे क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।